矩估计法 (Method of Moments, MOM)

• 逻辑：令理论模型的总体矩（如均值、方差）等于样本。
• 案例（维修时长）：
  • 假设为 Gamma 分布：
    • 利用样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 直接反推 $$ \hat{\alpha} = \frac{\bar{X}^2}{S^2} $$ $$ \hat{\beta} = \frac{S^2}{\bar{X}}$$
    • $$\alpha \text{ (形状)} = 3.139, \quad \beta \text{ (尺度)} = 3.085$$
  • 假设为 Weibull 分布：
    • Weibull 的矩估计非常复杂，涉及 Gamma 函数 $\Gamma(\cdot)$，方程组如下$$ \begin{cases} \bar{X} = \lambda \, \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right) \\ S^2 = \lambda^2 \left[ \Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right] \end{cases}$$
    • 通常通过消去 $\lambda$，解关于 $k$ 的超越方程，解出 $k$ 后代回第一个方程求 $\lambda$ $$ \frac{S^2}{\bar{X}^2} = \frac{\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right)}{\Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)} - 1 $$
    • $$ k \text{ (形状)} = 1.837, \quad \lambda \text{ (尺度)} = 10.900$$

最大似然估计法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)

• 逻辑：寻找一组参数，使得在该参数下观测到当前这组数据的联合概率（似然函数值）最大。在统计学上，MLE 通常比 MOM 具有更优的渐近性质。
• 原理：构建似然函数 $L(\theta)$，通过求导寻找极值点。这通常涉及复杂的非线性优化，建议借助专业软件计算。
• 案例（维修时长）：
  • 建议使用 Python 中的 Scipy 库，其中的 .fit() 函数默认就是使用 MLE，代码如下：

from scipy import stats

data = [11.93, 7.88, 7.36, ...]  # 你的数据

# 1. Gamma 分布
# 返回 (Shape, Location, Scale)->通常把 loc 固定为 0 (floc=0)，因为维修时间从 0 开始
mle_Shape, mle_loc, mle_Scale = stats.gamma.fit(data, floc=0)

# 2. weibull 分布
weibull_shape, weibull_loc, weibull_scale = stats.weibull_min.fit(data, floc=0)

最后结果为：

• Gamma 分布
  • $$\alpha \text{ (形状)} = 3.304, \quad \beta \text{ (尺度)} = 2.931$$
• weibull 分布
  • $$ k \text{ (形状)} = 1.892, \quad \lambda \text{ (尺度)} = 10.952$$

图形法

最常用的有两种图：

1. 密度-直方图：

• 做法：绘制数据的频率直方图，并叠加理论分布的概率密度函数（PDF）曲线。
• 判据：看曲线是否贴合直方图的轮廓。
• 通过 Python 绘制的案例图如下

2. P-P 图 / Q-Q 图：

• 做法：绘制“理论值”与“实际值”的散点图。
• 判据：若点集紧密围绕 45 度对角线分布，说明拟合优良；若有明显弯曲或离散，说明拟合不佳。
• 通过 Python 绘制的案例图如下

区别：

• Q-Q 图 (Quantile-Quantile)：对尾部数据更敏感（适合检查极值）
• P-P 图 (Probability-Probability)：对中间数据更敏感（适合检查整体趋势）

统计检验法

这是生成 P-Value 的关键步骤。

1. 卡方检验 (Chi-Square Test)

• 原理：将数据离散化为若干个“区间（Bins）”，比较每个区间内“实际观测频数”与“理论期望频数”的差异。
• 优点：通用性强（离散/连续均可）。
• 缺点：结果受区间划分（分桶）方式影响较大，样本量较小（$<50$）时效力较低。
• 代码结果: 两个模型都接受 (Accept)，但 Gamma 的 P 值 (0.63) 依然高于 Weibull (0.11)。

2. K-S 检验 (Kolmogorov-Smirnov Test)

• 原理：计算“经验累积分布函数（ECDF）”与“理论累积分布函数（CDF）”之间的最大垂直距离 $D$。
• 优点：无需分桶，适用于连续分布。
• 缺点：对尾部数据不太敏感（只看最大距离）。
• Python 代码：ks_stat, ks_p = stats.kstest(data, dist_code, args=params)
• 代码解释：

• 代码结果:
• Gamma: $D = 0.0588$, P-Value = $0.8592$ (非常高，拟合极好)。
• Weibull: $D = 0.0861$, P-Value = $0.4247$ (还不错，但不如 Gamma)

3. A-D 检验 (Anderson-Darling Test)

• 原理：K-S 检验的加权增强版，赋予尾部数据更高的权重。
• 优点：通常比 K-S 检验更具统计效力（Power），能更有效地识别错误的分布。
• 缺点：计算复杂，对每种分布有特定的临界值表。