一、连续均匀分布 $U(a,b)$

通常所说的“均匀分布”默认指连续形式。它描述了一个随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 内取任意值的概率密度恒定。

概率密度函数 (PDF)：

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{for } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

(图像是一个矩形，高度为 $\frac{1}{b-a}$)

累积分布函数 (CDF)：

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{for } a \le x \le b \\ 1 & \text{for } x > b \end{cases}$$

(图像是一条从0线性上升到1的斜线)

关键统计量：

期望 (均值): $E(X) = \frac{a+b}{2}$

方差: $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

二、Excel实现

之前我们在随机数 - 自新世界一文中描述的线性同余法就是为了生成均匀分布的随机数所使用的经典算法。在 Excel 中实现均匀分布非常简单，主要取决于你是需要生成的连续小数还是整数，以下是三种主要的方法：

1. 标准均匀分布 $U(0,1)$
   • 函数：=RAND()
   • 说明：生成一个大于等于 0 且小于 1 的随机小数。
2. 一般连续均匀分布 $U(a,b)$
   • Excel 公式：= a + (b - a) * RAND()
3. 离散均匀分布 (整数)
   • 函数：=RANDBETWEEN(bottom, top)

关于其应用实例，可参考随机数的简单应用实例 - 自新世界。

一、数学公式

表达式为 $X \sim \text{Tri}(a, b, c)$，其中 $a≤c≤b$

概率密度函数 (PDF)：

$$
f(x) =
\begin{cases}
0 & x < a \\
\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & a \leq x \leq c \\
\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & c < x \leq b \\
0 & x > b
\end{cases}
$$

累积分布函数 (CDF)：

$$
F(x) =
\begin{cases}
0 & x < a \\
\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & a \leq x \leq c \\
1 - \frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & c < x \leq b \\
1 & x > b
\end{cases}
$$

关键统计量：

期望：$E(X) = \frac{a+b+c}{3}$

方差：$Var(X) = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}{18}$

二、Excel实现

要在计算机中生成三角分布随机变量 $X$，我们需要利用逆变换法(详细原理将在下文介绍)。核心逻辑是生成一个 $0$ 到 $1$ 之间的均匀随机数 $R$，然后求解 $X = F^{-1}(R)$。

由于 CDF 是分段函数，我们需要先计算分界点(即众数 $c$)对应的累积概率：
$$
P_{\text{cut}} = F(c) = \frac{c-a}{b-a}
$$

生成逻辑如下：

1. 生成随机数 $R \sim U(0,1)$。
2. 情况 A：如果 $R \le \frac{c-a}{b-a}$ (落在三角形左侧上升段)，解方程 $R = \frac{(X-a)^2}{(b-a)(c-a)}$，得：$$X = a + \sqrt{R(b-a)(c-a)}$$
3. 情况 B：如果 $R > \frac{c-a}{b-a}$ (落在三角形右侧下降段)，解方程 $R = 1 - \frac{(b-X)^2}{(b-a)(b-c)}$，得：$$X = b - \sqrt{(1-R)(b-a)(b-c)}$$

具体步骤：

1. 设置参数并标准化
   • 最小值($a$)：单元格 A2；最大值($b$)：单元格 B2；最可能值($c$)：单元格 C2
   • 对分段点 $c$ 进行标准化：$\frac{c-a}{b-a}$
   • 在 D2 单元格输入：= (C2-A2)/(B2-A2)
2. 生成均匀随机数 $R$
   • 在 B5 单元格输入：=RAND()
3. 应用逆变换公式
   • 在 C5 单元格输入：=IF(B5 <= \$D\$2,\$A\$2 + (\$B\$2-\$A\$2)SQRT(B5\$D\$2),\$B\$2 - (\$B\$2-\$A\$2)SQRT((1-B5)(1-\$D\$2)))
4. 批量试验

假设 $a=3，b=9，c=5$，进行1000次实验得到的三角分布直方图如下：

一、数学公式

表达式为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma > 0$

概率密度函数 (PDF)：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

累积分布函数 (CDF)：

正态分布的 CDF 没有封闭形式的解析表达式，只能通过积分表示：

$$ F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} dt $$

关键统计量：

期望：$E(X) =\mu $

方差：$Var(X) =\sigma ^2$

二、Excel实现

方法 A: 使用逆变换法的内置函数

利用 $X \sim N(\mu, \sigma)$ 与标准均匀分布 $R \sim U(0,1)$ 的关系：$X = F^{-1}(R)$

Excel 公式：=NORM.INV(RAND(), mean, standard_dev)

一、数学公式

表达式为 $X \sim P(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$

泊松分布描述的是一个计数过程。如果事件以恒定的平均速率 $\lambda$ 独立发生，那么在单位时间内发生 $k$ 次事件的概率为：

$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$

$\lambda$：唯一的参数。既是均值也是方差（$E(X) = Var(X) = \lambda$）。

• 特性：
  • 此分布是离散的。
  • 具有”无记忆性”的计数特征。
    • 泊松分布本身描述的是“计数结果”，计数结果是一个具体的数字（如5次、10次），数字本身谈不上记忆性。所谓的“无记忆性”，是指产生泊松分布背后的那个过程——“泊松过程”所具有的特性，它的无记忆性体现在：非重叠时间段内的计数是相互独立的。

二、Excel实现

方法A：使用“数据分析”工具

如果只需要生成一堆随机数进行分析，不需要它们随公式自动变化，这是最快且便捷的方法。

1. 开启插件：点击“文件” -> “选项” -> “加载项” -> 底部的“管理：Excel 加载项”点击“转到” -> 勾选“分析工具库”，确定。
2. 打开工具：点击顶部菜单栏的“数据” -> “数据分析”。
3. 设置参数：
   • 在弹出的窗口选择“随机数发生器”。
   • 变量个数：你要生成几列数据（通常填 1）。
   • 随机数个数：你要生成多少个需求量（比如 100 个）。
   • 分布：下拉选择 “泊松 (Poisson)”。
   • $\Lambda$：输入你的平均需求量（例如 5）。
4. 输出：选择一个单元格点击确定，Excel 就会瞬间生成符合该分布的整数。

方法B：逆变换法（最常用，适合动态仿真）

逻辑：生成一个 0-1 的随机数，然后利用“查找”对照泊松的累积概率分布。

具体步骤：

1. 建立累积概率对照表（假设 $\Lambda = 5$）：
   • 在 A 列输入：0, 1, 2, 3 … 到 20（需求量）。
   • 在 B 列输入公式：=POISSON.DIST(A1, 5, TRUE)，下拉。这将得到需求量 $ \le k$ 的概率。
2. 生成随机数：
   • 在你的需求单元格输入公式： =MATCH(RAND(), B1:B21, 1) - 1
   • 解释：RAND() 生成 0-1 随机概率，MATCH 在对照表中找到它落在哪个区间，从而反推需求量。

一、数学公式

表达式为 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$

概率密度函数 (PDF)：

$$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 $$

累积分布函数 (CDF)：

$$ F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 $$

关键统计量：

期望：$E(X) = 1 / \lambda$

方差：$Var(X) =1 / \lambda ^2$

仿真中的“无记忆性” ：

这是指数分布独有的特性，也是唯一的：过去等待了多久，完全不影响未来还要等多久。若随机变量 $X$ 表示某个系统状态持续时间（如等待时间、寿命），则：
$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t), \quad \forall s, t \ge 0$$

二、Excel实现

方法A：使用“数据分析”工具

指数分布同样可以使用Excel中的随机数发生器生成一列静态数据。

注意：Excel 的工具箱里通常只有 Poisson 选项用于生成计数，没有直接生成指数分布时间间隔的选项。

方法B：逆变换法

由 $R = 1 - e^{-\lambda x}$ 推导出 $x = -\frac{\ln(1-R)}{\lambda}$。因为 $1-R$ 和 $R$ 都是均匀分布，公式通常简化为：= -LN(RAND()) / lambda

如果你已知的是平均间隔时间 (Mean) 而不是速率 $\lambda$：= -LN(RAND()) * Mean

一、数学公式

经验累积分布函数(ECDF)：

$$F_n(x) = \frac{\text{样本中} \le x 的个数}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{X_i \le x}$$

二、Excel实现

场景一：离散经验分布

假设我们有关于去年“每日退货数量”的历史记录：

• 0 件: 出现 172 天
• 1 件: 出现 115 天
• 2 件: 出现 50 天
• 3 件: 出现 18 天
• 4 件: 出现 7 天
• 5 件: 出现 3 天

1. 构建累积概率表

2. 使用 VLOOKUP 进行逆变换抽样

为了配合 VLOOKUP 的模糊匹配机制，我们需要把累积概率表稍微改造一下，建立“区间下限”表：

3. 批量生成随机数

公式：=VLOOKUP(RAND(), \$F\$1:\$G\$7, 2, TRUE)

通过上述步骤的得到的经验pmf与实际pmf对比图如下：